Bu çalışmada sırasıyla (Özdemir, 2016) ve (Sözen et. al., 2017) kaynaklarında çalışılan Rad-tümleyenli ve (δ-E) özelliğine sahip (kısaca δ-tümleyenli) modüllerin yeni bir genelleştirmesi olarak genelleştirilmiş δ-tümleyenli ve bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller tanımlandı ve bazı temel özellikleri incelendi. Ayrıca bu çalışmada bütün halkalar birimli ve bütün modüller de üniter sol modül olarak alınmıştır. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller tıpkı Zöschinger’ in (E) özelliğine sahip modülleri gibi injektif modüllerin bir genelleştirilmesidir. δ-tümleyeni ve δ-radikal modüllerin genelleştirilmiş δ-tümleyenli modül olduğu gösterildi. Genel olarak, genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüller δ-tümleyenli değildir. Bu iddiayı doğrulayan bir örneğe yer verildi. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli bir modülün her bir direkt toplam teriminin de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu ispatlandı. Kullanışlı bir sonuç olarak genelleştirilmiş δ-tümleyenli bir modülün δ-örtüsünün de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu ifade edildi. Dahası, genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüllerin genişlemeler altında korunduğu ispatlandı. Buna dayanarak, kompozisyon serisine sahip her modülün genelleştirilmiş δ-tümleyenli olduğu söylendi. Genelleştirilmiş δ-tümleyenli modüllerin faktör modüllerinin de genelleştirilmiş δ-tümleyenli olup olmadığını sorgulandı ve özel bir şart altında bunun doğruluğu bulundu. Ayrıca, δ-V-halka üzerine kurulan modüllerin injektifliği ile genelleştirilmiş δ-tümleyenli kavramının çakıştığı görüldü. Bir M modülünün bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli olması için gerekli ve yeterli koşulun M nin her alt modülünün genelleştirilmiş δ-tümleyenli olması gerektiği gösterildi. Bunun sonucu olarak da her bol genelleştirilmiş δ-tümleyenli modülün genelleştirilmiş δ-tümlenmiş modül olduğu söylendi.

In this study, generalized δ-supplementing and ample generalized δ-supplementing modules are defined as a new generalization of Rad-supplementing modules and modules with the property (δ-E) (briefly δ-supplementing) which were studied in (Özdemir, 2016) and (Sözen et. al., 2017) respectively and some basic properties of them are investigated. All rings will be associative with identity and all modules will be unital left modules in this paper. Generalized δ-supplementing modules are of course a generalization of injective modules such as Zöschinger’s modules with the property (E). It is shown that δ-supplementing and δ-radical modules are both δ-supplementing. In general, generalized δ-supplementing modules need not be δ-supplementing. We give an example which supports this reality. Every direct summand of a generalized δ-supplementing module is generalized δ-supplementing. As a useful result, we add that the δ-cover of a generalized δ-supplementing module is also generalized δ-supplementing. Following this, we give an immediate consequence such that every module with composition series is generalized δ-supplementing. Moreover, we prove that generalized δ-supplemented modules are preserved under extensions. We wonder whether the factor module of a generalized δ-supplementing module is also generalized δ-supplementing and so we find a positive answer under a special condition. Moreover, we point the cases being generalized δ-supplementing and injectivity are coincide for modules over δ-V-rings. For a module M, the necessary and sufficient condition of being ample generalized δ-supplementing is that every submodule of M is generalized δ-supplementing. As a result, it is also said that every ample generalized δ-supplementing module is a generalized δ-supplemented module.